数値解析

備忘のために。数値解析関連の話はほとんど学んだことがないため、何か間違いがあるかも。 Eular法 以下、例に出そうとしている微分方程式が運動方程式なので、文字の使い方を力学っぽくしている(位置、速度、時間を $x, v, t$ みたいな気持ちで書いている)。 導出(1階) まず次の常微分方程式がある。 \[ \frac{dx}{dt} = f(t, x) \] 上の式を以下のように近似する。$h$を十分小さくすれば、微分の定義より上の式に近づく。 \[ \begin{aligned} \frac{x(t + h) - x(t)}{h} \simeq f(t, x) \\ \Rightarrow x(t + h) \simeq x(t) + f(t, x)h \end{aligned} \] これが、$x(t)$の更新式となっている。つまり、ある時刻$t_0$における値$x_0 = x(t_0)$を決めておけば、 \[ \begin{aligned} & t_k := t_{k-1} + h\\ \end{aligned} \] とおいて、 \[ \begin{aligned} & x(t_1) := x(t_0) + f(t_0, x_0)h \\ & x(t_2) := x(t_1) + f(t_1, x_1)h \\ & x(t_3) := x(t_2) + f(t_2, x_2)h \\ & … \end{aligned} \]...