積分

今年の7月くらいに書き始め、存在をすっかり忘れていた記事をUP。 モンテカルロ法でどうやって積分計算をするのか、重点サンプリングとはどのようなものなのかついて勉強したので、そのメモ。 一般論 $$ \begin{aligned} \int_{\Omega_0} f(x) dx &= \int_{\Omega_0} \frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx\\ &= \mathbb{E}\left[\frac{f(x)}{p(x)}\right] \end{aligned} $$ ここで、$p$ は確率密度関数。上の $\mathbb{E}$ が期待値であるためには、 $$ \int_{\Omega_0} p(x) dx = 1 $$ である必要がある。 大数の法則より、確率分布 $p$ に従う 標本 $x_n\ (n = 1, 2, \ldots, N)$ に対して、$N$ が十分大きければ、 $$ \mathbb{E}\left[\frac{f(x)}{p(x)}\right] \simeq \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{f(x_n)}{p(x_n)} $$ となるから、結局、 $$ \begin{aligned} \int_{\Omega} f(x) dx \simeq \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{f(x_n)}{p(x_n)} \end{aligned} $$ と近似できる。 ちなみに、$p(x_n) = 0$ なる $x_n$ が選ばれることは絶対に無い(確率0だから)。よって分母が0になることを心配する必要はない。 定義域を広げる $p$ の定義域をもう少し広げられる。$\Omega \supset \Omega_0$ であれば、集合$A$に関する指示関数を $\bm{1}_A$ と書くことにして、...